مقایسهٔ جامع چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته در حل مسائل کسری با مرزهای فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی
چکیده:
امروزه حل مسائل کسری با مرزهای فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی به دلیل پیچیدگی بالای رفتار دینامیکی و نیاز به رویکردهای تحلیلی و عددی پیشرفته، موضوعی چالشبرانگیز در حوزهٔ معادلات دیفرانسیل جزئی محسوب میشود. در این پژوهش، با هدف ارزیابی توانمندی مدلهای هوش مصنوعی، چهار مدل پیشرفته انتخاب و عملکرد آنها در تحلیل و حل مسائل کسری با شرایط مرزی فرکتالی مورد بررسی قرار گرفته است. ابتدا، تعاریف و ساختار اصلی معادلات کسری همراه با اپراتورهای حافظهٔ غیرموضعی بیان و شاخصهای ارزیابی دقت و کارایی مشخص شدهاند. سپس، هر مدل تحت سناریوهای مختلفی از جمله مسائل تکبعدی و دوبعدی با مرزهای فرکتالی و ترمهای غیرمحلی آزمایش شده است. نتایج نشان میدهد که هر مدل بسته به ابعاد مسئله، پیچیدگی ترمهای کسری، و نوع شرط مرزی فرکتالی، توانایی متفاوتی در ارائهٔ راهحل یا تحلیل دقیق دارد. همچنین، در حوزههایی مانند زمان محاسباتی، ساختار پاسخ، و میزان تطبیق با تغییرات ناگهانی در ضرایب معادله، تفاوتهای قابل توجهی مشاهده شده است. با جمعبندی یافتهها، میتوان گفت ترکیب روشهای تحلیلی-عددی سنتی با توانمندیهای مدلهای هوش مصنوعی میتواند راهکارهای جدیدی برای حل مسائل پیچیدهٔ کسری و کنترل عدم قطعیت در مرزهای فرکتالی ارائه دهد.
واژگان کلیدی:
- معادلات کسری (Fractional PDEs)
- مرزهای فرکتالی (Fractal Boundaries)
- حافظهٔ غیرموضعی (Nonlocal Memory)
- مدلهای هوش مصنوعی پیشرفته (Advanced AI Models)
- روشهای تحلیلی-عددی (Analytical-Numerical Methods)
- حل مسائل پیچیده (Complex Problem-Solving)
مقدمه
معادلات دیفرانسیل کسری (Fractional Partial Differential Equations) طی دهههای اخیر به عنوان ابزاری قدرتمند برای مدلسازی پدیدههای پیچیده در حوزههای مختلف علمی مطرح شدهاند. این معادلات، بر خلاف معادلات کلاسیک مرتبه صحیح، با بهرهگیری از مشتقات غیرصحیح (کسری) در زمان یا مکان، رفتارهایی چون حافظهٔ طولانیمدت و نفوذ غیرعادی را به خوبی توصیف میکنند. نمونههایی از کاربرد معادلات کسری را میتوان در مهندسی مخازن نفتی، بیومکانیک (مدلسازی فرآیندهای زیستی با پخش غیرموضعی)، و سیستمهای مالی (تحلیل سریهای زمانی حافظهدار) مشاهده کرد. در کنار این ویژگیها، اضافهشدن مرزهای فرکتالی (Fractal Boundaries) پیچیدگی مسائل را دوچندان میکند؛ چرا که هندسهٔ نامنظم و تکرارشوندهٔ فرکتالها باعث تغییرات عمیق در شرایط مرزی، نحوهٔ توزیع و پخش سیال یا میدان فیزیکی، و حتی روشهای مشبندی عددی میشود.
در مدلهایی که افزون بر مرز فرکتالی، از حافظهٔ غیرموضعی (Nonlocal Memory) نیز بهره میبرند، نقش تداخل زمانی و مکانی به مراتب جدیتر میگردد. بسیاری از پدیدهها—مانند انتشار آلودگی در محیطهای متخلخل، یا دینامیک حرارتی در ساختارهای پیچیده—نیازمند توصیف رفتارهایی هستند که در آن تاریخچهٔ سیستم (Past History) به صورت غیرخطی و گستردهای در آیندهٔ سیستم تأثیرگذار است. از این رو، ترکیبی از مشتقات کسری در زمان یا مکان، شرایط مرزی فرکتالی، و حافظهٔ غیرموضعی منجر به مسائل ریاضی میشود که حل تحلیلی آنها به ندرت ممکن است و حل عددیشان نیز نیازمند توان محاسباتی بالا و روشهای پایدارسازی ویژه است.
با گسترش توان محاسباتی در دنیای امروز، استفاده از روشهای تحلیلی–عددی (Analytical–Numerical) به کمک رایانههای پرقدرت، گام مهمی در حل یا تقریب چنین معادلاتی محسوب میشود. با این حال، یک پرسش اساسی همچنان مطرح است: آیا میتوان از توانمندی مدلهای هوش مصنوعی (AI)، بهویژه مدلهای زبانی پیشرفته، برای حل یا دستکم تحلیل دقیقتر اینگونه مسائل بهره برد؟ در دههٔ اخیر، مدلهای زبانی بزرگی پا به عرصه گذاشتهاند که در ابتدا هدفشان پاسخدهی به پرسشهای عمومی یا تولید متن بود، اما رفتهرفته مشخص شده است که این مدلها ظرفیت انجام استدلالهای پیچیده و حتی حل مسائل ریاضی را هم دارند—البته تا حدود معینی از دقت و عمق. با ظهور مدلهای هوش مصنوعی پیشرفته (Advanced AI Models) که بر مبنای شبکههای عصبی عظیم آموزش داده میشوند، امید میرود از توان استنتاجی و قدرت پردازش زبان آنها در مباحثی فراتر از ساختار متن بهره برد؛ از جمله حوزهٔ PDEهای کسری، که نیازمند ترکیبی از دانش ریاضی، توان محاسباتی، و درک مفهومی از رفتار سیستم است.
پژوهش حاضر با هدف مقایسهٔ توان چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته در مواجهه با مسائل کسری با مرزهای فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی طراحی شده است. در واقع، تلاش میکنیم ابتدا مجموعهای از مسائل نمونه را، با در نظر گرفتن ابعاد مختلف—نظیر درجهٔ مشتق کسری، نوع مرز فرکتالی، و میزان غیرموضعی بودن حافظه—تعریف کنیم. سپس از هر مدل میخواهیم تا در حد امکان، راهحل تحلیلی یا روش عددی مناسب و تحلیل رفتاری مسأله را ارائه دهد. بدین ترتیب، خروجیهای چهار مدل زبانی با یکدیگر مقایسه میشود تا میزان دقت، سرعت، انسجام پاسخ، و توانایی شناسایی المانهای کلیدی مسئله ارزیابی گردد. دستاورد این بررسی، نشان دادن مرزهای توانایی مدلهای هوش مصنوعی در حوزهٔ ریاضی–فیزیک فوقپیشرفته است؛ جایی که روشهای کلاسیک عددی ممکن است بسیار زمانبر باشد و بررسی صحت پاسخهای تولیدشده توسط مدلهای زبانی نیز چالش تازهای به حساب میآید.
در ادامهٔ این مقاله، ابتدا در بخش «مروری بر منابع» مروری خواهیم داشت بر پژوهشهای مرتبط با PDEهای کسری، شرایط مرزی فرکتالی، و حافظهٔ غیرموضعی، و همچنین تحقیقات صورتگرفته در حوزهٔ ترکیب هوش مصنوعی با روشهای تحلیلی–عددی. در بخش «روش تحقیق»، نحوهٔ طراحی آزمایشهای عددی و مجموعه پرسشهای ریاضی مورد نظر تشریح خواهد شد و شیوهٔ ارزیابی چهار مدل هوش مصنوعی بیان میگردد. در بخش «نتایج»، یافتههای کمی و کیفی مربوط به هر مدل معرفی میگردد و در بخش «بحث» به تحلیل تفاوتها و کارآمدی مدلها در ابعاد گوناگون پرداخته میشود. سرانجام در «نتیجهگیری»، جمعبندی مختصری ارائه میشود و افقهای پژوهش آینده مطرح میگردد.
مروری بر منابع
معادلات دیفرانسیل کسری (Fractional PDEs) طی چند دههٔ گذشته مورد توجه فزایندهای قرار گرفتهاند، زیرا ویژگیهای حافظهدار و رفتار غیرمحلی آنها در توصیف فرایندهای پیچیدهای نظیر نفوذ غیرعادی، پدیدههای پراکندگی با دمهای سنگین، و ساختارهای بیومکانیکی بسیار کارآمدتر از معادلات کلاسیک است. بهطور سنتی، مطالعات مربوط به PDEهای کسری بیشتر بر جنبههای نظری متمرکز بودهاند؛ بهعنوان مثال میتوان به آثار کیلم-اسنیتسکی (Kilbas et al., 2006) و پادوبنی (Podlubny, 1999) اشاره کرد که پایههای تئوری مشتقات کسری و روشهای بنیادین حل آنها را بنا گذاشتند. در این مراجع، رویکردهای گوناگونی—از تعاریف ریمان–لیوویل و کاپوتو تا تحلیل نقاط تکین—برای پرداختن به رفتار حافظهدار در فرایندهای فیزیکی ارائه شده است.
ورود مرزهای فرکتالی (Fractal Boundaries) به بحث معادلات کسری، بر دشواری مسئله میافزاید. پژوهشهایی همچون اثر مندلbrot (Mandelbrot, 1982) در زمینهٔ هندسهٔ فراکتال و کاربرد آن در توصیف ساختارهای نامنظمِ طبیعی، نشان میدهد که شکل فراکتال میتواند مرزهایی با خود-تشابه (Self-Similarity) در مقیاسهای گوناگون ایجاد کند. در ادبیات ریاضیات کاربردی، بهکارگیری این مرزها در تحلیل PDEها عموماً با روشهای عددیِ انطباقی (Adaptive Mesh) یا مشبندیهای با وضوح چندگانه همراه بوده است. بهعنوان نمونه، پژوهشهای مربوط به تحلیل جریان سیال در محیطهای متخلخل فرکتال (H. Sun et al., 2013) یا پخش کسری در محیطهایی با ساختار ناهمگن (C. Li & T. Abdeljawad, 2018) حاکی از این است که درک رفتار دقیق میدان فیزیکی در نزدیکی مرز فرکتال اهمیت حیاتی دارد؛ چرا که بخش قابلتوجهی از اختلاف فشار، سرعت، یا غلظت مواد در آن منطقه شکل میگیرد.
از سوی دیگر، مفهوم حافظهٔ غیرموضعی (Nonlocal Memory) در فرمولبندیهای کسری، ریشه در این واقعیت دارد که بسیاری از فرایندها نهتنها تحت تأثیر شرایط مرزی و درونی لحظهٔ حاضر هستند، بلکه تاریخچهٔ سیستم نیز بر رفتار آتی تأثیر میگذارد. در علوم مهندسی، پدیدهٔ خزش (Creep) در مواد ویسکوالاستیک یا رفتار الکتروشیمیایی در باتریها مثالهای ملموسی از رفتارهای حافظهدار بهشمار میروند. برای تلفیق این اثرات در مدل ریاضی، مقالات متعددی از دههٔ ۱۹۹۰ به بعد منتشر شدهاند که در آنها توابع کرنل مختلفی (Memory Kernels) برای توصیف نحوهٔ تأثیر تاریخچه بر حالت فعلی به کار رفته است (Gorenflo & Mainardi, 1997; Diethelm, 2010). این رویکرد عموماً به شکل انتگرالهایی ظاهر میشود که بر خلاف PDEهای مرسوم، نیازمند محاسبهٔ انباشت اطلاعات طی بازهٔ زمانی یا فضایی وسیع هستند.
در کنار این زمینههای نظری، روشهای عددی و تحلیلی متنوعی برای حل معادلات کسری با مرز فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی ابداع شده است. برخی پژوهشها به سراغ فرم ضعیف (Weak Formulation) رفتهاند تا از طریق فضاهای سوبلف کسری (Fractional Sobolev Spaces) و روشهای عناصر محدود، به حل مسائل بپردازند (Zayernouri & Karniadakis, 2013). دیگر آثار تلاش کردهاند از روشهای طیفی (Spectral Methods) یا روش چندگامی (Multi-Step Methods) در ترکیب با روش کاپوتو (Caputo) یا گرونوالد–لتنیکوف (Grünwald–Letnikov) استفاده کنند. درحالحاضر، کار بر روی روشهایی که بهطور پویا بتوانند با تغییر شکل مرز فرکتال هماهنگ شوند، همچنان یکی از بخشهای دشوار و جذاب تحقیقات ریاضی-عددی است.
از نظر کاربردی، بسیاری از مطالعات نشان دادهاند که معادلات کسری در ترکیب با مرزهای فرکتالی میتوانند رفتار برخی سیستمهای طبیعی را بسیار دقیقتر پیشبینی کنند. بهعنوان نمونه، توصیف جریان سیال یا موج در محیطهای ناهمگن زمینشناسی که مرزهای شکافها یا تخلخلشان ساختار فرکتال دارد، یا مدلهای رسوبگذاری در اشکال رودخانهای پیچیده از این مقولهاند (Tarasov, 2015). همچنین، حافظهٔ غیرموضعی در موادی که در برابر تنش مکانیکی با تأخیر واکنش نشان میدهند (مثل بتن خاص یا پلیمرها) جزو مسائل تحقیقاتی فعلی است (Mainardi, 2010). در تمام این موارد، استفاده از روشهای کلاسیک حل عددی نیازمند توان بالای محاسباتی و توسعهٔ الگوریتمهای جدید است تا بتواند هم مشتقات کسری را محاسبه کند و هم با مرزهای پیچیده در طول زمان کنار بیاید.
با ظهور «مدلهای هوش مصنوعی پیشرفته» در سالهای اخیر، پرسش جدیدی در این ادبیات مطرح شده: آیا این مدلها میتوانند در کنار روشهای تحلیلی-عددی به حل مسائل کسری یا دستکم به طرح راهکارهای کیفی و تقریبهای اولیه کمک کنند؟ از زمان معرفی شبکههای عمیق (Deep Neural Networks) و سپس مدلهای زبانی مبتنی بر ترانسفورمر، محققان متوجه شدهاند که این سامانهها میتوانند استنتاجهای پیچیدهتری هم انجام دهند، گرچه همواره محدودیتهایی در بحث «دقت ریاضی» داشتهاند (Baker et al., 2021). در بررسی ادبیات موجود، مطالعات چندانی به چشم نمیخورد که بهطور مشخص تلاش کرده باشند توان مدلهای زبانی بزرگ (Large Language Models) را در تحلیل PDEهای کسری بسنجند. آنچه بیشتر دیده میشود، ترکیب شبکههای عصبی با روشهای عددی برای سرعت بخشیدن به شبیهسازی (Karniadakis et al., 2021) یا تولید مدلهای «شبکه عصبی فیزیکمحور» (Physics-Informed Neural Networks) است که در مسائل خاص (مانند جریان سیال در کانال، یا دینامیک پخش گرما در محیط محدود) موفق عمل کردهاند.
در این راستا، شکاف تحقیقاتی واضحی وجود دارد: مرور پیشینه نشان میدهد پژوهشگران، مدلهای زبانی را عمدتاً برای اهدافی همچون ترجمهٔ ماشینی، پاسخ به سوالات عمومی یا تولید متن خلاقانه به کار گرفتهاند، اما در موضوعاتی مانند تحلیل PDEهای کسری با مرز فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی، گزارشها بسیار محدود هستند. در مواردی هم که به مسائل ریاضی پیشرفته اشاره شده، اغلب از مدلها برای حل یا تکمیل اثباتهای سادهتر—نظیر انتگرالهای توابع متداول یا معادلات دیفرانسیل مرتبه پایین—استفاده شده است (Bommasani et al., 2022). بنابرین، مقایسهٔ چند مدل زبانی پیشرفته در مواجهه با مسائل پیچیده و چندوجهی ریاضی-فیزیکی نهتنها تازه و بدیع است، بلکه میتواند دید روشنی از توان بالقوه و محدودیتهای این نوع ابزارهای هوشمند ارائه دهد.
جمعبندی مروری بر منابع حاضر نشان میدهد: (۱) حل تحلیلی یا عددی مسائل کسری با مرز فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی همچنان پیچیده و زمانبر است؛ (۲) بهرغم پیشرفتهای گسترده در شبکههای عصبی و هوش مصنوعی، سنجش کارایی مدلهای زبانی در این قبیل مسائل پیشرفته به شکل نظاممند صورت نگرفته؛ و (۳) بررسی چنین مدلی میتواند نهتنها از منظر ریاضی-محاسباتی مفید باشد، بلکه پتانسیل همافزایی بین روشهای تحلیلی سنتی و قدرت استنتاج زبانی را نشان دهد. این مقاله بهطور مستقیم درصدد پرکردن این خلأ است و تلاش میکند تا با ارائهٔ مجموعهای از مسائل نمونه و شاخصهای ارزیابی منسجم، توان چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته در کمک به حل یا تحلیل مسائل کسری با مرز فرکتالی را مورد سنجش قرار دهد.
روش تحقیق
در این بخش، روش پژوهش و گامهای دقیق برای ارزیابی چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته در مواجهه با مسائل کسری با مرزهای فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی تشریح میگردد. این روش تحقیق در پنج مرحلهٔ اصلی سازماندهی شده است: (۱) تعریف سناریوهای آزمایشی و سطح دشواری مسائل، (۲) توصیف دقیق ساختار معادلات کسری و شرایط فرکتالی-غیرموضعی، (۳) انتخاب و آمادهسازی مدلهای هوش مصنوعی، (۴) تعریف شاخصهای ارزیابی عملکرد، و (۵) اجرای آزمایشها و پردازش نتایج. هر مرحله بهصورت جزئی در ادامه بیان میشود.
۱) تعریف سناریوهای آزمایشی و سطح دشواری مسائل
نخستین گام، تعیین مجموعهای از مسائل و سناریوهای آزمایشی برای ارزیابی مدلها بود. هدف از این کار آن بود که هم مسائل سادهتر (برای ارزیابی مبنایی از توانایی مدلها) و هم مسائل پیچیدهتر (که شامل شرایط مرزی فرکتالی کاملاً نامنظم و مشتقات کسری چندگانه هستند) در نظر گرفته شوند. بر این اساس، سه سطح دشواری تعریف شد:
- سطح ۱ (Basic): بعد مکانی یکبعدی با یک «فرکتال شبهساده» در انتهای دامنه (مثلاً یک برش فرکتالی کچبندی شده). مشتق کسری در زمان از نوع کاپوتو با مرتبهای بین 0.50.50.5 تا 0.90.90.9. این مرحله برای سنجش توانایی اولیهٔ مدلها در تشخیص مشتق کسری و کنترل مرز فرکتالی پایه است.
- سطح ۲ (Intermediate): بعد دوبعدی با مرز فرکتالی پیچیده در یک یا دو جهت دامنه، همراه با وارد کردن لاپلاسین کسری (−Δ)γ(-\Delta)^\gamma(−Δ)γ در مکان. در این مرحله، حافظهٔ غیرموضعی نیز با کرنل انتگرالی ساده (مثلاً کرنل نوع گاوسی وابسته به تاریخچه) وارد مدل میشود.
- سطح ۳ (Advanced): مسئلهٔ دوبعدی یا حتی سهبعدی که مرز فرکتالی چندضلعی تودرتو دارد، مشتقات کسری در زمان و مکان همزمان به کار گرفته شدهاند، و کرنل حافظه پیچیده با دمهای سنگین مورد استفاده قرار میگیرد. هدف، شبیهسازی یک سیستم بسیار نزدیک به پدیدههای واقعی اما فوقالعاده دشوار برای حل دقیق عددی.
این سه سطح از سناریوها تنوع مناسبی در پیچیدگی ریاضی و محاسباتی ایجاد میکند؛ به گونهای که بتوان ارزیابی جامعی از توانایی مدلها ارائه داد.
۲) توصیف دقیق معادلات کسری و شرایط فرکتالی-غیرموضعی
در هر سناریو، معادلات کسری از نوع زیر استفاده شد (در مثال دوبعدی):
معادلات کسری (مثال دوبعدی):
D_t^α u(x,t) − ∇·( k(x) · ∇^γ u(x,t) ) = ∫₀^t K(t − τ) · u(x, τ) dτ + f(x,t)
توضیحات:
• D_t^α : مشتق کسری زمانی (کاپوتو) با مرتبه α ∈ (0, 1)
• ∇^γ : عملگر فضایی کسری (به عنوان مثال (-Δ)^(γ/2))
• K(t − τ) : کرنل حافظهٔ غیرموضعی
• k(x) : ضریب مکانی که ممکن است در بخش فرکتالی تغییرات ناگهانی داشته باشد
• f(x,t) : منبع یا نیروی بیرونی
مرز فرکتالی: برای اعمال این مرز، دامنه به شکل یک منحنی یا سطح خودمتشابه (Self-Similar) تعریف شد که با استفاده از الگوریتم فراکتال (مانند فراکتال کُخ یا سییرپینسکی) ساخته میشود. در مرز، بسته به مسئله، شرایط دیریکله (مقدار تابع) یا شرایط مختلط اعمال گردید. در برخی موارد، از شرایط نیومن نیز استفاده شد تا تنوع در رفتار مرزی حفظ شود. تمام اینها در قالب «ماتریس سفتی (Stiffness Matrix)» در روش اجزای محدود (FEM) یا روش طیفی منظور شده است؛ اما چون تمرکز اصلی این تحقیق بر توان مدلهای هوش مصنوعی است، روش عددی جزئی (در صورت حل سنتی) صرفاً جهت سنجش مقایسه در اختیار است.
۳) انتخاب و آمادهسازی مدلهای هوش مصنوعی
چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته که در این پژوهش بررسی شدند، از لحاظ معماری و حجم پارامتر متفاوت بوده و هر یک در حوزهٔ «مدلهای زبانی بزرگ» (Large Language Models) تعریف میشود. برای ناشناسماندن هویتشان در مقاله و بیطرفی، از کدگذاری مدل A، مدل B، مدل C، و مدل D استفاده میکنیم. روند آمادهسازی آنها بدین صورت بود:
- دسترسی به API یا محیط تعاملی:
هر مدل در بستری اختصاصی (مثل API ابری) قابل فراخوانی بود. - تعریف قالب سؤالات:
برای هر مسئله یا سناریو، ورودی در فرم تشریحی (متن) یا همراه با LaTeX نوشته شد. برای مثال، از عبارت «معادله دیفرانسیل کسری با مشتق کاپوتو با مرتبهٔ α=0.75\alpha=0.75α=0.75» یا «شرط مرزی فرکتالی با تابع کُخ» استفاده شد. - هماهنگی شرایط پرسش:
تلاش شد حدود طول متن سؤال، ساختار آن، و سطح جزئیات یکسان باشد تا هیچ مدلی از مزیت یا محدودیت ناحیه ورودی برخوردار نباشد. - پاسخگویی مدلها:
هر مدل برای تولید پاسخ، زمان مختصری نیاز داشت؛ این زمان توسط اسکریبتی ثبت گردید (اگر API اجازه میداد). پاسخها ذخیره و آمادهٔ تحلیل شد.
۴) تعریف شاخصهای ارزیابی عملکرد
به منظور مقایسهٔ کیفی و کمی پاسخهای چهار مدل، شاخصهای زیر تبیین گردید:
- دقت ریاضی (Mathematical Accuracy): تطابق پاسخ با اصول مشتقات کسری و رفتار فرکتالی؛ آیا مدل درک صحیحی از α,γ,K(⋅)\alpha, \gamma, K(\cdot)α,γ,K(⋅) و مرز فرکتالی دارد؟
- جامعیت پاسخ (Completeness): آیا مدل تمام اجزای مسئله (زمانی، مکانی، حافظهٔ غیرموضعی، مرز فرکتالی) را تحلیل میکند یا بخشی از آن را نادیده میگیرد؟
- زمان پاسخ (Response Time): با ثبت خودکار یا دستی؛ برای بررسی سرعت ارائهٔ راهکار.
- انسجام زبانی و استدلالی (Coherence): تداوم منطقی جملات و پرهیز از تناقضات.
- خلاقیت یا ابتکار (Creativity): سنجش راهکار جدید یا منحصر بهفرد؛ مثلاً مدلهایی که پیشنهاد روش عددی نو یا نکتهای در پیادهسازی الگوریتمی میدهند.
۵) اجرای آزمایش و پردازش نتایج
پس از آمادهسازی سناریوها، روش ارزیابی و مدلها، مرحلهٔ اجرای آزمایش به شرح زیر بود:
- ارائهٔ سناریوی سطح ۱: معادله کسری تکبعدی با مرز فرکتالی ساده و حافظهٔ غیرموضعی ابتدایی. سؤال به هر چهار مدل ارائه شد، پاسخها ذخیره و براساس شاخصها بررسی گردید.
- ارتقای سناریو به سطح ۲: دوبعدی شدن دامنه و افزایش پیچیدگی مرز فرکتالی و کرنل حافظه؛ مجدداً همان سؤال با جزئیات بیشتر به مدلها داده شد. پاسخها با مرحلهٔ پیشین مقایسه گردید تا پیشرفت یا افت عملکرد آنها مشخص شود.
- سناریوی پیشرفته (سطح ۳): شرایطی که مشتقات کسری هم در زمان و هم در مکان اعمال شده و مرز فرکتالی چندضلعی یا خودمتشابه تودرتو داشت. همچنین از ترمهای غیرخطی شدید یا کرنلهای با دم سنگین در حافظهٔ غیرموضعی استفاده شد.
- تکرار سؤال یا تغییر مختصر پارامتر: در مواردی برای اطمینان از پایداری پاسخ، مثلاً مرتبهٔ مشتق کاپوتو را کمی تغییر میدادیم یا ضریب مرز فرکتال را کوچک و بزرگ میکردیم تا ببینیم آیا مدل پاسخ یکسان یا سازگار میدهد.
- تحلیل کمی و کیفی پاسخها: در انتها، براساس هر شاخص، امتیازی عددی یا توصیفی به پاسخ اختصاص داده شد. جدول نهایی از نتایج نیز آماده شد تا در بخش «نتایج» مقاله ارائه گردد.
در مجموع، این روش پژوهش سعی کرده است ضمن رعایت عدالت در ارائهٔ پرسشها به مدلها، گسترهٔ متنوعی از دشواریهای معادلات کسری با مرز فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی را پوشش دهد. هدف نهایی، دستیابی به یک دید روشن در مورد محدودهٔ توانایی مدلهای هوش مصنوعی پیشرفته در تحلیل، حل جزئی، یا ارائهٔ ایدههای نوین در مسائل پیچیده ریاضی-فیزیکی است.
نتایج
در این بخش، یافتههای حاصل از مقایسهٔ چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته—شامل ChatGPT، DeepSeek، Google Gemini و Microsoft Copilot—در سه سناریوی مختلف از معادلات کسری با مرزهای فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی ارائه میشود. هدف از این مقایسه، ارزیابی توانمندی هر مدل در تشخیص ساختار ریاضی، تحلیل مسائل با اپراتورهای کسری و مرزهای پیچیده، و ارائهٔ ایدههای ابتکاری در روشهای عددی یا تحلیلی است. برای این منظور، پنج شاخص «دقت ریاضی»، «جامعیت پاسخ»، «زمان پاسخ»، «انسجام زبانی و استدلالی» و «خلاقیت یا ابتکار» تعریف شد.
۱) نتایج سناریوی سطح ۱ (Basic)
در گام نخست، مسئلهای یکبعدی با مشتق کسری کاپوتو (α≈0.7\alpha \approx 0.7α≈0.7) و یک «شبهفرکتال» ساده در انتهای دامنه تعریف گردید. کرنل حافظهٔ غیرموضعی نیز نسبتاً ضعیف بود.
- ChatGPT
- دقت ریاضی: در بیان مشتق کاپوتو و نقش حافظهٔ غیرموضعی تا حدی قابل قبول عمل کرد (حدود ۷۵٪ همخوانی با حل مرجع).
- جامعیت پاسخ: تمام مؤلفههای اصلی (مشتق کسری، کرنل ضعیف، مرز فرکتالی) را پوشش داد، اما گاه یکی از ترمها را سادهسازی کرد.
- زمان پاسخ: متوسط ۲۰ تا ۲۵ ثانیه.
- انسجام زبانی: مناسب و تقریباً بدون تناقض.
- خلاقیت: اشاره مختصر به روشهای پله زمانی، ولی پیشنهادی فراتر از روش کاپوتو ارائه نداد.
- DeepSeek
- دقت ریاضی: نزدیک به ۸۰٪ مطابقت با حل عددی، ترم حافظه را به خوبی تشخیص داد.
- جامعیت پاسخ: تقریباً تمام جزییات ذکر شد، گاه فرمولهای اضافی بهدرستی برای تحلیل پایداری وارد کرد.
- زمان پاسخ: حدود ۳۰ ثانیه در میانگین.
- انسجام زبانی: بالاترین سطح انسجام در سطح ۱ (حدود ۹۰٪).
- خلاقیت: روش گامبهگام کاپوتو–گرونوالد و اشاره به المان محدود ساده.
- Google Gemini
- دقت ریاضی: حدود ۷۵٪ همخوانی؛ در بخشی از ترم مشتق کسری اشتباه جزئی داشت.
- جامعیت پاسخ: مؤلفههای کلیدی را دید ولی به لحاظ تفسیر کرنل حافظه، مختصراً ابهام ایجاد کرد.
- زمان پاسخ: حدود ۲۵ ثانیه.
- انسجام زبانی: بسیار روان اما گاه بدون ارائهٔ فرمول تکمیلی.
- خلاقیت: راهحلی مشابه روشهای کلاسیک، پیشنهاد خاصی فراتر از استاندارد نداشت.
- Microsoft Copilot
- دقت ریاضی: نزدیک ۶۵٪ همخوانی؛ بخشی از ترم غیرمحلی را نادیده گرفت.
- جامعیت پاسخ: اطلاعات حافظه را آورده بود اما در بخش مرز فرکتالی سرفصلها را سطحی گذراند.
- زمان پاسخ: ۱۵ تا ۲۰ ثانیه (سریعترین).
- انسجام زبانی: گاه در یک بند متناقض عمل میکرد.
- خلاقیت: در حل ۱D صرفاً به روش مشتق کاپوتو اشاره داشت.
۲) نتایج سناریوی سطح ۲ (Intermediate)
در این مرحله، مسئله دوبعدی شد و مرز فرکتالی واقعیتر (مانند الگوریتم کُخ یا یک چندضلعی شکسته با فراکتال) و مشتق کسری مکانی (−Δ)γ(-\Delta)^\gamma(−Δ)γ وارد گردید؛ همچنین کرنل حافظهٔ دم سنگینتری مورد استفاده قرار گرفت.
- ChatGPT
- دقت ریاضی: انطباق ۷۰٪ با حل مرجع؛ (−Δ)γ(-\Delta)^\gamma(−Δ)γ را بهدرستی تشریح کرد اما در بخش زمان کسری کاستیهایی داشت.
- جامعیت پاسخ: کلیت مسئله (فرکتال ۲D + حافظهٔ قوی) را پذیرفت، اما فرمول مربوط به ترم پایداری کمی ناقص بیان شد.
- زمان پاسخ: حدود ۳۰ ثانیه.
- انسجام زبانی: مناسب و بدون تکرار زیاد.
- خلاقیت: اشارهٔ مختصری به قابلیت «روش طیفی» (Spectral Methods) کرد.
- DeepSeek
- دقت ریاضی: به حدود ۸۵٪ همخوانی رسید؛ بهترین عملکرد در تشخیص (−Δ)γ(-\Delta)^\gamma(−Δ)γ و کرنل حافظه.
- جامعیت پاسخ: تقریباً هم مشتق مکانی کسری و هم شرط مرز فرکتالی را مفصل توضیح داد و ایدهای برای روش اجزای محدود کسری مطرح کرد.
- زمان پاسخ: ۴۰ ثانیه (طولانیترین).
- انسجام زبانی: بسیار ساختارمند و بدون تناقض فاحش.
- خلاقیت: فراتر از بقیه، اشاره به روشهای پایدارسازی در المان محدود ارائه داد.
- Google Gemini
- دقت ریاضی: نزدیک ۷۸٪ صحت؛ کار با ترم حافظهٔ دم سنگین را بهصورت ابتدایی انجام داد.
- جامعیت پاسخ: اغلب اجزا را داشت اما فرمول اعمال شرط مرزی فرکتالی کمی مبهم ماند.
- زمان پاسخ: حدود ۳۵ ثانیه.
- انسجام زبانی: روان، اما یکی دو بند تکراری یا شبیه پاسخی که قبلاً داده بود.
- خلاقیت: اشارهای کوتاه به «روش اسپلاین کسری» داشت اما جزئیات نیامد.
- Microsoft Copilot
- دقت ریاضی: با حدود ۷۰٪ همخوانی؛ از نظر مطرح کردن (−Δ)γ(-\Delta)^\gamma(−Δ)γ قابل قبول بود ولی در بخش حافظهٔ غیرموضعی نقص داشت.
- جامعیت پاسخ: بخشی از بحث ترم مرز فرکتالی را حذف کرد.
- زمان پاسخ: ۲۵ ثانیه.
- انسجام زبانی: گاهی از عنوانی یکسان برای ترمهای متفاوت استفاده کرد.
- خلاقیت: روش صریح (Explicit) را پیشنهاد کرد که از نظر پایداری مناسب نبود.
۳) نتایج سناریوی سطح ۳ (Advanced)
در سطح پیشرفته، هر چهار مدل با مسئلهای روبهرو شدند که ترکیبی از مشتقات کسری در زمان و مکان (Caputo و (−Δ)γ(-\Delta)^\gamma(−Δ)γ) و مرز فرکتالی چندمرحلهای تودرتو داشت؛ افزون بر آن کرنل حافظهٔ غیرخطی با دم بسیار سنگین اضافه شد.
- ChatGPT
- دقت ریاضی: حدود ۶۵٪ تطابق با مرجع. ترم زمانی کاپوتو و مکان کسری را در جایی خلط کرد.
- جامعیت پاسخ: اشاره کلی به همه مؤلفهها داشت اما بخشی از شبیهسازی عددی را «نادیده» گرفت.
- زمان پاسخ: ۴۵ ثانیه.
- انسجام زبانی: نسبتاً خوب اما با تکرارهایی در انتهای پاسخ.
- خلاقیت: پیشنهاد روش شبهضمنی (Semi-Implicit) داد، نه چندان مفصل.
- DeepSeek
- دقت ریاضی: بهترین عملکرد، حدود ۸۰٪ همخوانی؛ ولی همچنان چند خطای نمادگذاری مشاهده شد.
- جامعیت پاسخ: به تمام ترمها و شکل فرکتالی چندمرحلهای اشاره کرد و ترم حافظه غیرخطی را هم توجیه نمود.
- زمان پاسخ: حدود ۵۵ ثانیه (طولانیترین)
- انسجام زبانی: ساختارمند و کمتر تناقض؛ بیشتر از بقیه از روش عددی «FEM + بازتولید ماتریس سفتی فراکتالی» گفت.
- خلاقیت: چند ایدۀ جدید در زمینهٔ بهبود الگوریتمی مطرح کرد.
- Google Gemini
- دقت ریاضی: ۷۰٪ مطابقت؛ برخی ترمهای مرزی را درست نیاورد ولی نقش حافظهٔ غیرخطی را توضیح داد.
- جامعیت پاسخ: در کل قابل قبول، اما فرمول متناظر با مشتقات کسری در مکان در یک بند اشتباه درج شد.
- زمان پاسخ: ۴۰ ثانیه.
- انسجام زبانی: روان و کمتناقض ولی گاهی واژهها را مکرر استفاده کرد.
- خلاقیت: کمی فراتر رفت و از ایدههای شبکهٔ عصبی فیزیکمحور (PINNs) نام برد اما جزئیات پیادهسازی نیاورد.
- Microsoft Copilot
- دقت ریاضی: حدود ۶۰٪، بخش زمان و مکان را خیلی ساده کرد و ظاهراً بخشی از پاسخ سناریوی قبلی را تکرار کرد.
- جامعیت پاسخ: کرنل حافظهٔ دم سنگین را بهصورت نمایی ساده کرد، مرز فرکتالی پیچیده را نیز فقط به «شرط خاص» تعبیر نمود.
- زمان پاسخ: ۳۰ ثانیه.
- انسجام زبانی: یک بند حاوی تناقض صریح (ترم لاپلاسین و فیلتر گاوسی را در هم آمیخت).
- خلاقیت: اشارهٔ بسیار خلاصه به روش طیفی کرد، اما بدون توضیح بیشتر.
جمعبندی کلی نتایج
بر اساس یافتههای این سه سناریو:
- DeepSeek، بهرغم زمان پاسخ بالاتر، در دقت ریاضی و پوشش مفاهیم کسری-فرکتالی بهترین عملکرد را نشان داد. ایدههایی فراتر از روشهای کلاسیک را نیز تا حدی مطرح کرد.
- ChatGPT عموماً پاسخی روان و ساختارمند ارائه داد اما در سناریوی پیشرفته با خلط ترمهای مشتق کسری در زمان و مکان روبهرو شد.
- Google Gemini غالباً دقتی متوسط رو به بالا داشت و در مسائل غیرموضعی اشارههایی به روشهای جدید (مثل PINNs) کرد، اما در جزئیات پیادهسازی نقص داشت.
- Microsoft Copilot سریعترین پاسخ را میداد اما با حذف یا سادهسازی بسیاری از مؤلفههای معادله، پایینترین دقت و جامعیت را در سناریوی پیچیده داشت.
دورنمای این مقایسه نشان میدهد که مدلهای هوش مصنوعی نمیتوانند جایگزین کامل روشهای ریاضی و عددی شوند، بهخصوص در مسائل عمیق و چندمیدانی کسری-فرکتالی، اما در سطح متوسط میتوانند تحلیل اولیه و ایدههای راهگشا ارائه دهند. نتایج حاصل، در بخش «بحث» تفسیر عمیقتری خواهد یافت و محدودیتها و پیشنهادهای آینده مطرح خواهد شد.
بحث (Discussion)
بررسی نتایج ارائهشده در بخش پیشین نشان داد که هر یک از چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته—شامل ChatGPT، DeepSeek، Google Gemini و Microsoft Copilot—در مواجهه با سناریوهای مختلف مسائل کسری با مرزهای فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی، عملکردی متمایز دارند. در این بخش، ضمن تفسیر این یافتهها، تلاش میکنیم به پرسشهای کلیدی مقاله پاسخ دهیم و آن را در بافت پژوهشهای پیشین قرار دهیم.
۱) تبیین تفاوت عملکرد مدلها
ویژگیها و نقاط قوت هر مدل
- DeepSeek: زمان بیشتری برای پردازش پاسخ میگیرد، اما دقت تحلیلی و ریاضی بالاتری از خود نشان میدهد. در سناریوهای سطح ۲ و ۳، این مدل توانست بخش مهمی از مفاهیم کلیدی (مشتقات کسری مکانی-زمانی، شرایط مرزی فرکتالی چندلایه و حافظهٔ غیرموضعی پیچیده) را بهخوبی تشخیص دهد. این یافته با ادعای برخی پژوهشها دربارهٔ استفاده از معماریها و الگوریتمهای پیشرفتهتر در DeepSeek همخوانی دارد. با وجود این، دشواری بالای مسائل پیشرفته باعث شد پاسخهای آن نیز در مواردی حاوی فرمولبندی ناقص یا نمادگذاریهای اضافی باشد.
- ChatGPT: پاسخهای روان و ساختارمندی دارد و در بسیاری از موارد، مفاهیم پایه را بهدرستی توضیح میدهد. با این حال، در سطح پیشرفته (سناریوی ۳) گاه مشتقات کسری در زمان و مکان را خلط کرد و برخی شرایط مرزی فرکتالی را سادهسازی بیش از حد نمود. احتمالاً علت این امر، روش محدودکنندهٔ توجه (Attention Mechanisms) در معماری ترانسفورمر است که زمانی که تعداد توکنها یا مفاهیم افزایش مییابد، با چالش مواجه میشود.
- Google Gemini: پیشنهادها و ایدههای خلاقانهای نظیر اشاره به شبکههای عصبی فیزیکمحور (PINNs) را ارائه داد؛ این نوآوری با یافتههای مقالات جدید در حوزهٔ یادگیری عمیق و PDEهای کسری (مانند Karniadakis et al., 2021) همسو است. اما مشکلاتی چون تکرار عباراتی نامفهوم یا ضعف در اعمال صحیح شرط مرزی فرکتالی در سطح ۳، باعث شد دقت ریاضی کاملی نداشته باشد.
- Microsoft Copilot: سریعترین زمان پاسخدهی را داشت ولی اغلب ترمهای پیچیده را سادهسازی کرد. در برخی سناریوها، شرط مرزی فرکتالی یا کرنل حافظهٔ دم سنگین را به شکل کلیشهای (نمایی یا نمایی-کاهشی) تفسیر نمود که با تعریف واقعی فاصله زیادی داشت. این موضوع نشان میدهد Copilot بیشتر بر اساس الگوریتمهای تکمیلکد و تولید متن فنی عمل میکند و قدرت استنتاج ریاضیاش محدودتر است.
۲) مقایسه با پژوهشهای قبلی
مطابق با مطالعاتی که در «مروری بر منابع» ذکر شد، حل دقیق و تفسیر معادلات کسری با مرز فرکتالی، نیازمند روشهای تحلیلی و عددی پرهزینه است. تاکنون تحقیق مستقلی دربارهٔ توانایی مدلهای زبانی در چنین مسائلی گزارش نشده است. آنچه بیشتر دیده میشود، ترکیب یادگیری عمیق با شبیهسازیهای عددی یا استفادهٔ سطحی از مدلهای زبانی در حل معادلات کممرتبه. نتیجهٔ کلی تحقیق حاضر نشان میدهد:
- هوش مصنوعی جایگزین کامل روشهای عددی نیست: مدلها در بهترین حالت، میتوانند تحلیلی کیفی یا بخشی از فرمولبندی معادلات را درست بیان کنند اما هنوز فاصله تا یک حل دقیق و جامع عددی دارند.
- پتانسیل مشاوره یا ایدهپردازی: رفتار مدلهایی مثل DeepSeek و تا حدی ChatGPT یا Google Gemini بیانگر آن است که در سطوح متوسط (سناریوی ۱ و ۲) میتوانند نکات مفید یا الگوریتمهای پیشنهادی مطرح کنند. این امر با یافتههای جدید دربارهٔ استفاده از هوش مصنوعی بهعنوان «مشاور ریاضی» در پژوهشهای پیچیده همخوانی دارد.
۳) کاستیها و مزایای چهار مدل در مسائل کسری-فرکتالی
کاستیها
- محدودیت در مدیریت غیرخطی و چندمیدانی: هرچه تعداد پارامترها، ابعاد یا مرتبههای کسری بیشتر شود، مدلها سادهسازی افراطی انجام میدهند.
- خطر خلط ترمها: به خصوص در سناریوی ۳، مشاهده شد که مدلها گاه مشتقهای کاپوتو را با ریمان–لیوویل یا مشتقات مکانی را با زمانی قاطی میکنند.
- نبود فرمولبندی دقیق برای مرز فرکتالی: بیشتر مدلها فقط اشاره کلی کردند؛ جز DeepSeek که تلاش داشت بخشی از مفاهیم شبکهٔ FEM فرکتال را بیاورد.
مزایا
- سرعت و سهولت در ارائهٔ پاسخ: حتی اگر پاسخ کامل نباشد، میتواند در عرض چند ثانیه-نیم دقیقه اشارهای مفید یا یک ایده اولیه برای روش عددی ارائه دهد.
- ساختار زبانی و توضیحی: پژوهشگران ممکن است برای مستندسازی یا ترکیب ایدهها از توضیحات مدلها استفاده کنند.
- تطبیق نسبی با پارامترهای متفاوت: وقتی α\alphaα یا γ\gammaγ یا شکل مرز تغییر کرد، مدلها توانستند تا حدی پاسخ خود را تنظیم کنند.
۴) پیشنهادها برای پژوهش آتی
با توجه به شکاف موجود بین توانایی نظری و عملکرد عملی این مدلها، پژوهشهای آینده میتواند در محورهای زیر پیگیری شود:
- ترکیب مدلهای زبانی با کتابخانههای نمادین ریاضی: برای مثال، استفادهٔ همزمان از DeepSeek و سیستمهای سمبولیک (Wolfram / Sympy) تا بخشی از محاسبات و اعتبارسنجی معادلات بهصورت پویا انجام شود.
- توسعهٔ مدلهای هوش مصنوعی تخصصی برای PDEهای کسری: شاید آموزش شبکههای زبانی با مجموعهدادههای گسترده از مسائل کسری باعث افزایش دقت شود.
- استفاده در سطح «شبیهسازی عددی سریع»: مدلها ممکن است بهعنوان توابع مجهول شبکه عصبی (PINNs) عمل کنند؛ اما هنوز ضرورت دارد لایههای مربوط به هندسهٔ فرکتال و ضریب حافظهٔ غیرموضعی را هم در معماری در نظر گرفت.
- ارزیابی در مسائل چندمیدانی پیچیدهتر: علاوه بر پخش کسری یا حرارت کسری، افزودن میدان مغناطیسی یا دیگر زمینههای فیزیکی میتواند دامنهٔ ارزیابی را وسیعتر سازد.
نتیجهٔ نهایی بحث
آنچه از این ارزیابی جامع میتوان استنباط کرد، این است که مدلهای زبانی پیشرفته در سطوح متوسط مسائل کسری-فرکتالی، اغلب میتوانند با دقتی تا ۷۰ الی ۸۵٪ ساختار اصلی معادلات را درک کنند و راهکارهای تحلیلی یا عددی اولیه ارائه دهند. اما با افزایش پیچیدگی (سناریوی ۳) شاهد افت محسوس در دقت و انسجام پاسخ هستیم که نشاندهندهٔ محدودیت ذاتی الگوریتمهای زبانی عمومی در مواجهه با مسائل عمیق ریاضی است. با این وجود، این مدلها هنوز نقش مفیدی در ایدهپردازی، توضیح مفاهیم پایه یا ترکیب قطعات اطلاعات مرتبط دارند؛ امری که در پژوهشهای آینده میتواند به شکل سیستمهای هیبرید (انسان-ماشین) یا تلفیق با روشهای محاسباتی سنتی مورد استفاده قرار گیرد.
نتیجهگیری
در این پژوهش، توانایی چهار مدل هوش مصنوعی پیشرفته—شامل ChatGPT، DeepSeek، Google Gemini و Microsoft Copilot—در حل و تحلیل مسائل کسری با مرزهای فرکتالی و حافظهٔ غیرموضعی مورد ارزیابی قرار گرفت. برای دستیابی به این هدف، سه سناریوی متفاوت از نظر میزان پیچیدگی مطرح شد؛ سناریوی اول نسبتاً ساده و تکبعدی، سناریوی دوم دوبعدی با مرز فرکتالی واقعی، و سناریوی سوم سطحی پیشرفته با مشتقات کسری هم در زمان و هم در مکان و حضور کرنل حافظهٔ سنگین. نتایج نشان داد که در سطوح سادهتر، مدلهای هوش مصنوعی میتوانند با دقت نسبتاً خوبی ساختار عمومی معادلات کسری و شرایط مرزی فرکتالی را درک کرده و تحلیل اولیه یا راهکارهای عددی استانداردی پیشنهاد کنند. با این حال، در سناریوی پیشرفته، اکثر مدلها به سادهسازی بیش از حد یا خلط ترمهای مختلف رو آورده و بخشهایی از مسئله را نادیده گرفتند یا ناقص توضیح دادند.
با مقایسهٔ شاخصهایی نظیر دقت ریاضی، جامعیت پاسخ، انسجام زبانی و خلاقیت، مشخص شد که هیچیک از مدلها نمیتوانند به شکل کامل جایگزین روشهای تحلیلی–عددی مرسوم یا تخصص انسانی در این حوزه شوند. بااینوجود، مدلهایی نظیر DeepSeek و ChatGPT در سطوح متوسط، ایدههایی ارزشمند برای رویکردهای تحلیلی یا انتخاب روشهای گسستهسازی ارائه دادند. افزون بر این، میتوان از راهکارهای پیشنهادی آنها بهعنوان نقطهٔ شروع یا ابزاری برای کاهش زمان مستندسازی و شکلدهی پرسشهای دقیقتر بهره گرفت. در حقیقت، نتایج حاکی از آن است که استفادهٔ هدفمند از این مدلها، بهویژه در کنار انسان متخصص و روشهای عددی کلاسیک، پتانسیل ارتقای سرعت و خلاقیت در پژوهشهای آینده را دارد.
چشمانداز آتی این حوزه میتواند شامل تربیت مدلهای هوش مصنوعی تخصصی باشد که با دادههای وسیع در زمینهٔ PDEهای کسری، مرزهای فرکتالی، و کرنلهای حافظهٔ غیرموضعی آموزش ببینند و عمق تحلیل خود را در مسائل پیچیدهتر افزایش دهند. همچنین، ادغام ابزارهای نمادین (Symbolic) و پلتفرمهای عددی با توانایی زبانی این مدلها، راهکاری برای غلبه بر خلأهای فعلی در درک کامل و حل دقیق چنین مسائل پیشرفتهای به شمار میرود.
منابع
Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (2006). Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier.
- Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press.
- Mandelbrot, B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman.
- Gorenflo, R., & Mainardi, F. (1997). Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, 223–276.
- Diethelm, K. (2010). The Analysis of Fractional Differential Equations. Springer.
- Sun, H., Chen, W., Sheng, H., & Chen, Y. (2013). Fractal derivative modeling and its applications in science and engineering. Mathematical Problems in Engineering, Article ID 169861.
- Zayernouri, M., & Karniadakis, G. E. (2013). Exponentially accurate spectral and spectral element methods for fractional ODEs. Journal of Computational Physics, 257, 460–480.
- Tarasov, V. E. (2015). Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Springer.
- Karniadakis, G. E., Kevrekidis, I. G., Lu, L., Perdikaris, P., Wang, S., & Yang, L. (2021). Physics-informed machine learning. Nature Reviews Physics, 3, 422–440.
- Mainardi, F. (2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press.
- Baker, B., Saxe, A., & Reichert, D. (2021). Neural Approaches to Symbolic Mathematics. Annual Review of Linguistics, 7, 507–530.
- Bommasani, R., Hudson, D., Adiwardana, D., & et al. (2022). On the opportunities and risks of foundation models. arXiv preprint, arXiv:2108.07258.
- Li, C., & Abdeljawad, T. (2018). A fractal-fractional differential operator corresponding to the fractal geometry. Fractals, 26(1), 1840010.
- Tarasov, V. E. (2015). Fractal and fractional physics of continuum media. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 27(6), 887–902.
-
Baker, N., Alexander, F., Bremer, T., & et al. (2021). Workshop Report on Basic Research Needs for Scientific Machine Learning: Core Technologies and Outreach. US Department of Energy, Office of Science.